在數學分析中，對于給定的二元函數，求解其偏導數和全微分是基本且重要的操作。本文以函數\(z = y e^x\)為例，詳細求解\(\frac{\partial z}{\partial x}\)、\(\frac{\partial z}{\partial y}\)以及全微分\(dz\)，并闡述其計算過程。

一、問題背景

設二元函數\(z = y e^x\)，其中\(x\)和\(y\)為自變量，\(z\)為因變量。根據題目要求，需分別求：

• \(\frac{\partial z}{\partial x}\)（對\(x\)的偏導數）
• \(\frac{\partial z}{\partial y}\)（對\(y\)的偏導數）
• \(dz\)（全微分）

二、求解偏導數

1. 對\(x\)的偏導數

在求\(\frac{\partial z}{\partial x}\)時，將\(y\)視為常數。函數\(z = y \cdot e^x\)中，關于\(x\)的導數即指數函數\(e^x\)的導數（\(e^x\)的導數為\(e^x\)），乘以常數\(y\)。因此：
\[
\frac{\partial z}{\partial x} = y \cdot \frachghqs0dtpm{dx}(e^x) = y \cdot e^x
\]

2. 對\(y\)的偏導數

在求\(\frac{\partial z}{\partial y}\)時，將\(x\)視為常數。此時\(z\)是\(y\)的線性函數，系數為\(e^x\)，故：
\[
\frac{\partial z}{\partial y} = \frachghqs0dtpm{dy}(y \cdot e^x) = e^x
\]
因為常數\(e^x\)對\(y\)的導數就是1乘以該常數。

三、求解全微分

二元函數\(z = f(x, y)\)的全微分定義為：
\[
dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy
\]
將上述偏導數代入：
\[
dz = (y e^x) dx + (e^x) dy = e^x (y dx + dy)
\]

四、結果與討論

通過以上步驟，我們得到：

• \(\frac{\partial z}{\partial x} = y e^x\)
• \(\frac{\partial z}{\partial y} = e^x\)
• \(dz = e^x(y dx + dy)\)

可以看出，偏導數的計算結果清晰直接。全微分則結合了偏導數與變量增量，描述函數在局部線性近似中的變化率，在實際問題（如近似計算、波動傳播等）中具有廣泛應用。若對二元混合偏導（如\(\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}\)）感興趣，可繼續應用Clairaut定理驗證連續性，但不在本問范圍內。

本例充分體現了指數函數的求導規則和偏微分定義的本質，為更復雜的多元函數分析提供了基礎。